Mengenal Fungsi Naik Turun dan Titik Ekstrim

Pengertian Fungsi Naik dan Turun

Suatu fungsi dikatakan naik jika x bergerak ke kanan, grafik fungsi tersebut bergerak ke atas, dan turun jika grafik fungsi tersebut bergerak ke bawah.

Fungsi Naik dan Turun di bawah ini, turunan positif akan mengakibatkan suatu fungsi akan naik, turunan negatif akan mengakibatkan fungsi tersebut turun.

Teorima Uji Fungsi Naik dan Turun

Misalkan f adalah fungsi yang kontinu pada selang tutup [a, b] dan terdiferensialkan pada selang buka (a, b).
  1. Jika f ’(x) > 0 untuk semua x dalam (a, b), maka f naik pada [a, b].
  2. Jika f ’(x) < 0 untuk semua x dalam (a, b), maka f turun pada [a, b].
  3. Jika f ’(x) = 0 untuk semua x dalam (a, b), maka f konstan pada [a, b].
Pembuktian

Kasus 1 : Untuk membuktikan kasus pertama, anggap bahwa f ’(x) > 0 untuk semua x dalam selang (a, b) dan misalkan x1 < x2 adalah sembarang dua titik dalam selang tersebut.

Berdasarkan Teorema Nilai Rata-Rata, kita tahu bahwa ada suatu bilangan c sedemikian sehingga x1 < c < x2, dan Karena f ’(c) > 0 dan x2 – x1 > 0, maka f(x2) – f(x1) > 0, yang mengakibatkan bahwa f(x1) < f(x2). Jadi, f  naik pada selang tersebut.

Definisi 1 :

Misalkan f terdefinisi pada selang I. Kita katakan bahwa :
  • f monoton naik pada I jika untuk setiap pasangan bilangan a dan b dalam I,a < b mengakibatkan f(a) < f(b)
  • f monoton turun pada I jika untuk setiap pasangan bilangan a dan b dalam I, a < b   menyebabkan f(a) > f(b)
Gradien garis singgung di suatu titik pada grafik dapat ditentukan dengan turunan fungsi. Untuk fungsi naik dan fungsi turun memenuhi teorema berikut.

Misalkan, fungsi f dapat diturunkan pada selang terbuka (a, b).
  • Jika f '(x) > 0 untuk setiap x dalam selang (a, b) maka fungsi f naik pada selang (a, b).
  • Jika f '(x) < 0 untuk setiap x dalam selang (a, b) maka fungsi f turun pada selang (a, b).
Definisi Nilai Ekstrim

Misalkan f terdefinisi pada selang I yang memuat c.
  • f(c) merupakan nilai minimum f pada I jika f(c) ≤ f(x) untuk semua x dalam I.
  • f(c) merupakan nilai maksimum f pada I jika f(c) ≥ f(x) untuk semua x dalam I.
Suatu fungsi tidak harus memiliki nilai minimum atau maksimum pada selang tertentu. Sebagai contoh, pada gambar (1) dan (2) di atas, kita dapat melihat bahwa fungsi f(x) = x² + 1 memiliki minimum dan maksimum pada selang tutup [–1, 2], tetapi tidak memiliki maksimum pada selang buka (–1, 2).

Selain itu, pada gambar (3), kita dapat melihat bahwa kekontinuan dapat mempengaruhi keberadaan nilai ekstrim pada suatu selang.

Teorema Nilai Ekstrim di atas dapat disebut sebagai teorema keberadaan karena teorema tersebut hanya menyebutkan keberadaan nilai minimum dan maksimum, tetapi tidak menunjukkan bagaimana menentukan nilai-nilai tersebut.

Pada gambar di bawah ini, grafik f(x) = x³ – 3x² memiliki maksimum lokal pada titik (0, 0) dan minimum lokal pada titik (2, –4).

Secara tidak formal, untuk suatu fungsi kontinu, kita dapat berpikir bahwa maksimum lokalnya berada pada “bukit” grafik, dan minimum lokalnya terletak pada “lembah” grafik.
Previous
Next Post »